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刘润对谈吴军:每个人都一定要有数学思维
2020-07-13 21:00:00



吴军老师是我特别敬佩的老师。 


他是计算机科学家,是自然语言处理技术的先驱者,是谷歌公司的智能搜索科学家,腾讯公司的前副总裁,同时也是硅谷著名的风险投资人、畅销书作家。 

他著有《数学之美》、《浪潮之巅》、《硅谷之谜》、《智能时代》、《文明之光》、《大学之路》、《全球科技通史》、《见识》、《态度》等,本本都是超级畅销书。从我到我儿子小米,我们全家都是他的书迷。 

同时,他还是教育专家,古典音乐迷,酷爱逛博物馆,见过90%以上世界名画的真迹,他是优秀的红酒鉴赏家,他精通历史、艺术、哲学、摄影、投资、商业……把他在任何一个领域成就单拿出来,都让普通人望尘莫及。 

最近,吴军老师在得到app新上了一门课程,叫做:《数学通识50讲》。

吴军老师在得到已经开设了6门课程,分别是《硅谷来信》、《谷歌方法论》、《信息论40讲》、《科技史纲60讲》、《吴军讲5G》,以及刚上的《数学通识50讲》。

从信息论,到科技史,到通信技术5G,现在又讲数学,吴军老师的涉猎之广,研究之深,让人深深叹服。

我特别喜欢跟吴军老师聊天,因为每一次,都让我收获巨大。

趁着这次吴军老师回国,我马上跟他约了饭。

今天,我迫不及待地想把我们的聊天内容,分享给你。




 1 


信息论、科技史、谷歌方法论、5G、数学……我一直特别好奇,吴军老师的大脑是怎么能装下这么多东西,又理解得如此深刻的?

吴军老师说,他所讲的这些内容,其实就是他一直以来工作的沉淀。

吴军老师,是美国约翰霍普金斯大学的计算机博士,后来在谷歌担任智能搜索科学家。

他所研究的内容是语音识别和自然语言处理,这需要有非常深厚的信息论、信息技术、通信技术、以及数学功底。

而他的课程内容,就来自于这些积累。

差别在于,做成课程需要用更通俗的方式,把那些晦涩的专业知识讲出来,让每一个人都能够听得懂。

这一次的新课,吴军老师选择了数学。

为什么要选择讲数学呢?

数学这个主题,是很多老师(比如我,虽然我大学的专业就是数学…)想讲,但是不敢讲的。

为什么?

因为,它太难了。

而且,数学这两个字,简直是很多人的噩梦。

甚至,有小朋友在报考大学专业的时候说,只要不学数学,让我干什么都可以!

确实,数学很难。

很多人学了十几年数学,走上工作岗位,根本不知道数学到底有什么用。

除了相关专业的工程师,现在有几个人,还记得大学学过的微积分、概率、和线性代数?

那么学数学到底有什么用?

作为一个普通人,也要学数学吗?

吴军老师说,是的,每一个人,都一定要学数学,因为它实在太有用了。

学数学,对大部分人来说,不是为了解数学题,不是为了当数学家,而是为了培养数学思维。

数学思维,不仅能让你登上更高的高度,开拓你的眼界,也能够帮你建立一些正确的常识,让你少走弯路,并且让你在人生的每一个岔路口,有更多更多的选择。

今天我能够给企业做战略咨询,能够快速洞察一件事物的本质,其实,最最根本的能力,就来自于数学思维。

可是,数学也太难了,我学不会怎么办?

解数学题也许很难,数学考试拿满分也许很难,但是,只要你愿意,培养自己的数学思维其实并不难。

哦?那具体来说,数学思维包括哪些呢?

我给你介绍5种。

这5种数学思维,让吴军老师,包括我自己都特别受益。





 2 



第一种数学思维,源自于概率论,叫做从不确定性中找到确定性

什么意思?

假如一件事情成功的概率是20%,是不是就意味着,我重复做这件事5次,就一定能成功呢?

很多人会这样想,但事实并不是这样。

如果我们把95%的概率定义为成功,那么这件20%成功概率的事,你需要重复做14次。

换句话说,你只要把这件20%成功概率的事,重复做14次,你就有95%的概率能做成。


计算过程我放在这里,对公式头疼的小朋友可以直接略过。

做一次失败的概率为:1-20%=80%=0.8

重复做n次至少有一次成功的概率是95%,就相当于重复做n次每一次都不成功的概率是5%,

重复做n次都不成功:80%^n=1-95%=5%=0.05

n=log(0.8,0.05)=13.42

所以重复做13.42次,你成功的概率能达到95%。

如果你要达到99%的成功概率,那么你需要重复做21次。

那想达到100%的成功概率呢?

对不起,这个世界上没有100%的概率,所有人想要做成事,都需要一点点运气。

我们经常说,正确的事情,要重复做。

它其实就是概率论的自然语言表述。

所谓正确的事情,其实指的就是大概率能成功的事情。

而所谓的重复,学会了概率论,我们就对重复这件事有了定量的理解。

20%的成功概率,在商业世界中,已经不算小了,只要重复做14次,你的成功概率就能达到95%。

理解了这件事情,你就会知道,创业一次成功的概率太小,所以你在融资的时候,就不能只融资一次的预算,你需要更多更多次的预算。

相对应地,很多人都想过,假如我在一个领域成功的概率是1%,那么我找到20个领域来做,是不是跟一个领域20%的效果是一样的?

如果我们依然把95%定为成功的标准,那么1%成功概率的事情,你需要重复做298次。

而这,还只是一个领域。

这就像很多人会问,我是成为一个全才,把20个领域都试个遍,更容易成功?

还是成为一个专才,在一个领域深耕,更容易成功呢?

概率论会告诉你,成为一个专才,成功的可能性更大。

理解了这件事情,你就会明白,创业要专注,不要做太多事,做太多事,你本来20%的概率就只剩1%了,你成功的概率就会更小。

你看,虽然这个世界上没有100%的概率,但是只要重复做大概率成功的事情,你成功的概率就能够接近100%。

这就叫从不确定性中找到确定性。

这是概率论教会我们最重要的思维。

我们学习概率论,不是为了去算题,而是要理解这种思考方法,在做人生选择的时候,就能选对那条大概率成功的道路。





 3 


第二种数学思维,源自于微积分,叫做用动态的眼光看问题

很多人一听说微积分,想到那些复杂的微分方程、积分方程,就头疼。

别怕。

我们今天不谈方程,只谈微积分的思维方式。

微积分的思维方式其实特别简单,也正因为简单到极致,所以非常漂亮。

微积分是牛顿发明的。他为什么要发明微积分呢?

是为了虐死后世的我们吗?

当然不是。

其实在牛顿以前,人们对速度这些变量的了解,仅限于平均值的层面。

比如,我知道一段距离的长短,和走完这段距离的时间,就可以算出一个平均速度。

但是,每个瞬间的速度,我是不了解的。

于是,牛顿就发明了微分,用无穷小这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。

而积分跟微分正好相反,它反应的是瞬间变量的积累效应。

那么,到底什么是微积分?

我举个简单的例子。

一个物体静止不动,你推它一把,会瞬间产生一个加速度。

但有了加速度,并不会瞬间产生速度。

加速度累积一段时间,才会有速度。

而有了速度,并不会瞬间产生位移。

速度累积一段时间,才会有位移。

宏观上,我们看到的是位移,但是从最微观的角度来看,其实是从加速度开始的。

加速度累积,变成速度;速度累积,变成位移。

这,就是积分。

反过来说,物体之所以会有位移,是因为速度在一段时间的累积。

而物体之所以会有速度,是因为加速度在一段时间的累积。

位移(相对于时间)的一阶导数,是速度。

而速度(相对于时间)的一阶导数,是加速度。

宏观上,我们看到的是位移,但是从微观上来看,其实是每一个瞬间速度的累积。

而位移的导数,就是从宏观回到微观,去观察它“瞬间”的速度。

这,就是微分。

那么,微积分对我们的日常生活到底有什么用呢?

理解了微积分,你看问题的眼光,就会从静态变为动态。

什么意思?

加速度累积,变成速度;速度累积,变成位移。

其实人也是一样。

你今天晚上努力学习了,但是一晚上的努力,并不会直接变成你的能力。

你的努力,得累积一段时间,才会变成你的能力。

而你有了能力,并不会马上做出成绩。

你的能力,得累积一段时间,才会变成你的成绩。

而你有了一次成绩,并不会马上得到领导的赏识。

你的成绩,得累积一段时间,才会得到领导赏识。

从努力,到能力,到成绩,到赏识,它是有一个过程的,有一个积分的效应。

但是你会发现,生活中有很多人,在开始努力的第一天,就会抱怨说,我今天这么努力,领导为什么不赏识我?

他忘了,这其实还需要一个积分的效应。

反过来说,有些人可能一直以来工作都做得很好,但是从某个时候开始,因为一些原因,慢慢懈怠了。

他的努力程度下降了,但这个时候,他的能力并不会马上跟着下降。

可能过了三四个月,才会慢慢显示出来。他会发现做事情开始不能得心应手了。

然后又过了三四个月,他做出来的东西,领导开始越来越看不上了。

在这一瞬间,很多人会觉得,有什么大不了的,我不过就是这一件事没做好呗。

但他忘了,这其实是一个积分效应,这样的结果,其实早在七八个月前他不努力的时候,就埋下了种子。

努力的时候,都希望大家瞬间认可;而出了问题,却不去想几个月之前的懈怠。

这是很多人都容易走进的思维误区。

而如果你理解了微积分的思维方式,能够用动态的眼光来看问题,你就会慢慢体会到,努力需要很长时间才会得到认可,你就会拥有一个平衡的心态,就会避免犯这样的错误。

吴军老师经常讲一句话,叫做莫欺少年穷

其实,从本质上来说,这也是微积分的思维方式。

少年虽穷,虽然他目前积累的还很少,但是,只要他的增速(用数学的语言来说,叫导速度)够快,经过五年十年,他的积累会非常高。

吴军老师给年轻人提建议说,不要在乎你的第一份薪水

这其实这也是微积分的思维方式。

一开始拿多少钱不重要,重要的是增速(导数)。

微积分的思维方式,从本质上来说,就是用动态的眼光看问题。

一件事情的结果,并不是瞬间产生的,而是长期以来的积累效应。

出了问题,不要只看当时那个瞬间,你只有从宏观,一直追溯(求导)到微观,才能找到最根源的问题所在。





 4 


第三种数学思维,源自于几何学,叫做公理体系

什么是公理体系?

比如,几何学有一门分科,叫做欧几里得几何,也被称为欧氏几何。


欧氏几何有5条最基本的公理:


1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交。


公理,是具有自明性并且被公认的命题。

在欧氏几何中,其他所有的定理(或者说命题),都是以这5条公理为出发点,利用纯逻辑推理的方法推导出来的。

从这5条公理出发,可以推导出无数条定理。

比如:

每一条线的角度都是180度。

三角形的内角和等于180度。

过直线外的一点,有且只有的一条直线和已知直线平行。

……

这构成了欧氏几何庞大的公理体系。

如果说公理体系是一颗大树,那么公理就是大树的树根。


而在几何学的另一门分科,罗巴切夫斯基几何中,它的公理体系又不一样了。

从罗巴切夫斯基几何的公理出发,可以推导出这样的定理:

三角形的内角和小于180度。

过直线外的一点,至少有两条直线和已知直线平行。

这跟欧氏几何是完全不同的。

(罗巴切夫斯基几何虽然看上去好像违反常识,但它其实解决的主要是曲面上的几何问题,跟欧氏几何并不冲突。)

因为公理不同,所以能推导出来的定理就不同,因此罗巴切夫斯基几何的公理体系,跟欧氏几何的公理体系,也完全不同。

在几何学中,一旦制定了不同的公理,就会得到完全不同的知识体系。

这就是公理体系的思维。

这种思维在我们的生活中非常重要。

比如,每家公司都有自己的愿景、使命、价值观,或者你也可以把它们称为公司基因或者文化。

因为愿景、使命、价值观不同,公司与公司之间的行为和决策,差异就会很大。

一家公司的愿景、使命、价值观,其实就相当于这家公司的公理。

公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。

所有的规章制度、工作流程、决策行为,都是在愿景、使命、价值观这些公理上,生长出来的定理。

它们构成了这家公司的公理体系。

而这个体系,一定是完全自洽的。

什么叫完全自洽?

就是一家公司一旦有了完备的公理,其实就不需要老板来做决定了。

因为公理能推导出所有的定理。

不管公司以后会怎么发展,会遇到什么情况,只要有公理存在,就会演绎出一套能够解决问题的新的法则(定理)。

而当你发现你的公司每天都需要老板来做决定,或者你的规章制度、工作流程、决策行为和你的愿景、使命、价值观不符。

通常是因为公理还不完备,或者你的推导过程出现了问题。

这个时候你就需要修修补补,将你公司的公理体系一步步搭建起来。

我曾跟小伙伴说:

我在公司只做三件事:设置责权利,捍卫价值观,和做一只安静的内容奶牛。

关于责权利法则,我们只有一条公理:创造最大价值的人,获得最大的收益。

所有的制度安排,都是我用我有限的智商,根据这条公理,推演出的定理。

任何制度安排(定理),如果违背了唯一的公理,那一定是我的智商不够用导致的。

我会为我的智商道歉,然后坚定地修改制度安排(定理)。

如果我拒不改正,或者对公理有动摇,请毅然决然地离开我。那个我,不值得你们跟随。

我们因为有相同的公理体系,而彼此成就。


公理没有对错,不需要被证明,公理是一种选择,是一种共识,是一种基准原则。

制定不同的公理,就会得到完全不同的公理体系,也就会得到完全不同的结果。





 5 


第四种数学思维,源自于代数,叫做数字的方向性

我们学代数,最开始学的是自然数,包括0和正整数:0,1,2,3,4,5……

然后是整数,包括自然数和负整数:……-3,-2,-1,0,1,2,3……

然后是有理数,包括整数和分数。

在学习分数之前,数字在我们的认知中,是离散的,是一个一个的点。

而有了分数,数字就开始变得连续了。

这就像在生活中,一开始你看事情,看的是对和错,大和小。

而慢慢地,你认识到世界其实并没有这么简单,你看事情开始有了灰度。

有理数之后,我们又学了无理数。

无理数,就是无限不循环小数,比如π。

任何一个有理数,都可以由两个数相除而得来。

但是无理数是无限不循环的小数,你找不到任何规律。

这会让你认识到,在这个世界上,有些事情就是复杂到无法有规律的。

π就是π,根号就是根号,它就是很复杂,你不要试图用一个简单粗暴的方式来定义它。

你要承认它的客观存在,承认这个世界的复杂性。

你看,我们不断深入学习各种数,其实就是在一步一步地理解世界的复杂。

再往复杂里说,数这个东西,除了大小,其实还有一个非常重要的属性:方向。

在数学上,我们把有方向的数字叫做向量。

数字,其实是有方向的。这个认识对我们的生活有什么用呢?

我举个例子。

假如你今天拖着一个箱子往东走,你力气很大,有30N。

这时来了一个人,非要跟你对着干,把箱子往西拖,他力气没你大,只有20N。

结果如何呢?

这个箱子还是会跟着你往东走,只不过只剩下10N的力,它的速度会慢下来。

这就像在公司里做事,两个人都很有能力,如果他们合作的时候,能力都能往一个方向使,形成合力,这是最好的结果。

而如果,他们的能力不能往一个方向使,反而互相牵制,那可能还不如完全交给其中一个人来做。

还有一种情况,做同一件事情,有的人想往东走,有的人想往西走,有的人想往北走,而你并不知道哪个方向是正确的。

这时,你想要的,不是合力的大小,而是方向的相对正确性。

那你该怎么办呢?

你就让他们都去干这件事吧。

虽然大家的方向不同,会互相牵制,力的大小会有损耗。

但是最终事情的走向,会是那个相对正确的方向。





 6 


第五种数学思维,源自于博弈论,叫做全局最优和达成共赢

什么是博弈论?

我们每天都要做很多很多大大小小的决策。

比如,我今天是喝咖啡,还是喝茶?

这就是一个决策。

但这个决策只跟我自己有关,并不会涉及到别人。

而在生活中,有一类决策,是需要涉及到别人的。

涉及到别人的决策逻辑,我们把它叫做博弈论。

比如,下围棋就是典型的博弈。

每走一步棋,我的所得就是你的所失,我的所失就是你的所得。

这是博弈论中典型的零和博弈。

在零和博弈中,你要一直明白,你要的是全局的最优解,而不是局部最优解。

什么意思?

下围棋的时候,不是在每一步上,你都要吃掉对方最多的子。

你要让终局所得最多,就要步步为营,讲究策略。

有时候让子是为了以退为进,始终记得,你是为了全局最优,而不是局部最优。

很多时候办公司也是一样,不要总想着每一件事情都必须一帆风顺,如果你想得到最好的结果,可能在一些关键步数上就要做些妥协。

除了零和博弈,还有一种博弈,叫做非零和博弈。

非零和博弈讲究共赢。

共赢的前提,是建立信任。

但建立信任,其实特别不容易。

假如市场上现在需要100万台冰箱。

一个厂家发现了这个需求,决定马上生产100万台。

另一个厂家发现了这个需求,也决定马上生产100万台。

第三个厂家也同样,决定马上生产100万台。

……

结果,每一个厂家都生产了100万台,供大于求,大部分厂家都会遭受很大的损失。

那如果这时候,大家能够建立起信任,说好10个厂家,每个人都只生产10万台,这样正好能够满足需求,每个厂家都能够赚到钱,大家就能达成共赢。

但是,只要有一个厂家没有遵守约定,别人都生产10万台,但是他生产30万台,这个时候,就多出来了20万台,大家就会因此遭受损失。

建立信任,特别不容易,但是这件事情在商业世界里非常重要。

那怎么才能建立信任呢?

我给你两个建议。

第一个建议是,你要找到那些能够建立信任的伙伴。

有些人,是永远都无法和他达成共赢的,这样的人你就要远离。

第二个建议是,你要主动释放信任。

你要先让别人知道你是值得信任的人,这样想要与你达成共赢的人,就会来找到你。




最后的话


今天,我给你介绍了5种数学思维:从不确定性中找到确定性,用动态的眼光看问题,公理体系,数字的方向性,以及全局最优和达成共赢。

这篇文章很长,但是我希望你一定要把它看完。

不但要看完,还要看很多遍,真正把它看懂,把这些数学思维用在你的生活中。

我也希望能通过这篇文章,向你传达一个观念:数学不难,真的不难。

你不一定要会解大部分数学题,你不一定要背下来所有公式,你不一定要数学考试拿满分,但是你至少要训练自己的数学思维

训练数学思维,是为了让自己拥有符合规律的思维方式。

孔子说:三十而立,四十而不惑,五十而知天命,六十而耳顺,七十而从心所欲不逾矩。

所谓的从心所欲不逾矩,不是说我要约束自己,让自己想做的事情不越出边界。

而是我因为拥有符合规律的思维方式,所以我做的事情根本就不会越出边界。

这,就是从心所欲的自由。



- END -

刘润
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刘润
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