2020 年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题 2 分，共 20 分）

1 ．（2 分） 下列实数中，比 1 大的数是（ ） A ． ﹣ 2 B ． ﹣

C ．

D ．2

2 ．（2 分） 如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）

3 ．（2 分） 用科学记数法表示 0.000000202 是（ ）

A ．0.202 ×10 ﹣ 6 B ．2.02 ×107 C ．2.02 ×10 ﹣ 6 D ．2.02 ×10 ﹣ 7

4 ．（2 分） 下列计算正确的是（ ）

A ．2a ﹣ a＝1

C ．6a+2a＝8a2

B ．6a2÷2a＝3a

D ．（ ﹣ 2a2）3＝ ﹣ 6a6

5 ．（2 分） 某企业车间有 50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：

表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（ ）

A ．7 个，7 个 B ．7 个，6 个 C ．22 个，22 个

6 ．（2 分） 不等式组

的解集为（ ）

A．x≤

B ．1＜x≤

C ．1≤x＜

D ． 8 个 ， 6 个

D．x＞1

7 ．（2 分） 已知直线 l1∥l2 ，将一块直角三角板ABC 按如图所示方式放置， ∠ABC＝90°，

D ．4

）

．

D ．65°

D

∠A＝30° ，若∠1＝85° ，则∠2 的度数是（ ）

A ．35° B ．45° C ．55°

8 ．（2 分） 已知方程组

，则 x ﹣ y＝（ ）

A ． 5 B ． 2 C ． 3

9 ．（2 分） 反比例函数y＝

图象如图所示，下列说法正确的是（

A ．k＞0

B．y 随 x 的增大而减小

C ．若矩形 OABC 面积为 2 ，则 k＝ ﹣ 2

D ．若图象上点 B 的坐标是（ ﹣ 2 ，1），则当 x＜ ﹣ 2 时，y 的取值范围是y＜1

10 ．（2 分） 如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形 CDE ， ∠CED＝90° ，DE＝CE，

连接 BE ，则 tan∠EBC＝（ ）

A ．

B ．

C．

二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）

11 ．（3 分） 分解因式： 2x2 ﹣ 4xy+2y2＝ ．

12 ．（3 分） 在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相 第 2页（共 29页）

同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.2 附近，则估计口袋中白球大约

有 个．

13 ．（3 分） 圆内接正方形的边长为 3 ，则该圆的直径长为 ．

14 ．（3 分） 计算：（

+a ） •

＝ ．

15 ．（3 分） 如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为 15m），另外三边用长为 16m

的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 ．

16 ．（3 分） 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6 ，∠A＝60° ，点 E 为边 AD 上一点，将点 C 折 叠与点 E 重合，折痕与边 CD 和 BC 分别交于点 F 和 G ，当 DE＝2 时，线段 CF 的长

是 ．

三、解答题（第 17 小题 6 分，18 、19 小题各 8 分，共 22 分）

17 ．（6 分） 计算：（ ﹣ 1）2020+|

﹣ 2|+tan45°+

．

18 ．（8 分） 在一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“中”、 “国”、 “加”、 “油”的四个小 球，除汉字不同外完全相同．摇匀后任意摸出一个球，记下汉字后不放回，再随机从中 摸出一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“加 油”的概率．

19 ．（8 分） 如图，在△ABC 中， ∠ACB＝90°，AC＝BC ，点 E 是∠ACB 内部一点，连接 CE，作 AD⊥CE ，BE⊥CE ，垂足分别为点 D ，E．

（1）求证： △BCE≌△CAD；

（2）若 BE＝5，DE＝7 ，则△ACD 的周长是 ．

四、（每小题 8 分，共 16 分）

20．（8 分） 为了解居民对垃圾分类相关知识的知晓程度（“A．非常了解”，“B．了解”，“C．基 本了解”，“D．不太了解”），小明随机调查了若干人（每人必选且只能选择四种程度中的

一种）．根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

请你结合统计图所给信息解答下列问题：

（1）小明共调查了 人，扇形统计图中表示“C”的圆心角为 °； （2）请在答题卡上直接补全条形统计图；

（ 3 ） 请 你 估 计 50000 名 市 民 中 不 太 了 解 垃 圾 分 类 相 关 知 识 的 人

数．

21 ．（8 分） 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出 20 件，每件盈利 50 元．经调查发 现： 这种衬衫的售价每降低 1 元，平均每天能多售出 2 件，设每件衬衫降价 x 元．

（1）降价后，每件衬衫的利润为 元，平均每天的销量为 件；（用含 x 的

式子表示）

（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利 1600

元，那么每件衬衫应降价多少元？

五、（本题 10 分）

22 ．（10 分） 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 是⊙O 的直径，边 BC 交⊙O 于点 D，作 DE

⊥AC 于点 E，延长 DE 和 BA 交于点 F．

第 4页（共 29页）

（1）求证： DE 是⊙O 的切线；

（2）若 tanB＝

，AE＝3 ，则直径 AB 的长度是 ．

六、（本题 10 分）

23 ．（10 分） 如图 1 ，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（ ﹣ 1 ，0），点 B （2 ，3），点 C （3 ，

）．

（1）求直线 AB 的解析式；

（2）点 P（m ，0）是 x 轴上的一个动点，过点 P 作直线 PM∥y 轴，交直线AB 于点 M， 交直线 BC 于点 N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当 MN＝MP 时，求点 M 的坐 标；

（3）如图 2，取点 D（4，0），动点 E 在射线 BC 上，连接 DE，另一动点 P 从点 D 出发， 沿线段 DE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E ，再沿线段 EB 以每秒

个单位的速度运 动到终点 B ，当点 E 的坐标是多少时，点 P 在整个运动过程中用时最少？ 请直接写出此

时 点 E 的 坐

标．

七、（本题 12 分）

24 ．（12 分） 在△ABC 中，AB＝AC ，点 O 在 BC 边上，且 OB＝OC ，在△DEF 中，DE＝

DF，点 O 在 EF 边上，且 OE＝OF， ∠BAC＝ ∠EDF，连接AD ，BE．

（1）如图 1，当∠BAC＝90°时，连接 AO，DO，则线段AD 与 BE 的数量关系是 ，

位置关系是 ；

（2）如图 2 ，当∠BAC＝60°时，（1）中的结论还成立吗？ 请说明理由；

（3）如图 3，AC＝3

，BC＝6，DF＝5，当点 B 在直线 DE 上时，请直接写出 sin∠ABD 的值．

八、（本题 12 分）

25 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（ ﹣ 1 ，0） 和 B （4 ，0），交y 轴于点 C，点 D 和点 C 关于对称轴对称，作 DE⊥OB 于点 E ，点 M

是射线 EO 上的动点，点 N 是y 轴上的动点，连接 DM，MN，设点 N 的坐标为（0 ，n）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 M，N 分别在线段 OE ，OC 上，且 ME＝ON 时，连接 CM，若△CMN 的面积 是

，求此时点 M 的坐标；

（3）是否存在 n 的值使∠DME＝ ∠MNO＝α（0°＜ α＜90°） ？若存在，请直接写出 n

的取值范围； 若不存在，请说明理由．

，

2020 年辽宁省沈阳市沈河区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题 2 分，共 20 分）

1 ．（2 分） 下列实数中，比 1 大的数是（ ） A ． ﹣ 2 B ． ﹣

C ．

D ．2

【分析】 直接估算无理数大小的方法以及实数比较大小的方法分析得出答案．

【解答】 解： ∵1＜

＜2，

∴

＜

＜1，

故 ﹣ 2＜ ﹣

＜

＜1＜2，

故选： D．

【点评】 此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键．

2 ．（2 分） 如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】 根据俯视图是从上面看到的图形，从上面看有两层，上层有 4 个正方形，下层

有一个正方形且位于左二的位置．

【解答】 解： 从上面看，得到的视图是：

故选： A．

【点评】 本题考查了三视图的知识，关键是找准俯视图所看的方向．

3 ．（2 分） 用科学记数法表示 0.000000202 是（ ）

A ．0.202 ×10 ﹣ 6 B ．2.02 ×107 C ．2.02 ×10 ﹣ 6 D ．2.02 ×10 ﹣ 7

【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a ×10 ﹣ n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零 的数字前面的 0 的个数所决定．

【解答】 解： 0.000000202＝2.02×10 ﹣ 7．

故选： D．

【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a ×10 ﹣ n ，其中 1≤|a|＜10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．

4 ．（2 分） 下列计算正确的是（ ）

A ．2a ﹣ a＝1

C ．6a+2a＝8a2

B ．6a2÷2a＝3a

D ．（ ﹣ 2a2）3＝ ﹣ 6a6

【分析】 根据合并同类项的运算法则、同底数幂的除法、积的乘方分别进行计算即可得 出答案．

【解答】 解： A 、2a ﹣ a＝a ，故本选项错误；

B 、6a2÷2a＝3a ，故本选项正确；

C、6a+2a＝8a ，故本选项错误；

D 、（ ﹣ 2a2）3＝ ﹣ 8a6 ，故本选项错误；

故选： B．

【点评】 此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解

题的关键，是一道基础题．

5 ．（2 分） 某企业车间有 50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：

表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是（ ）

A ．7 个，7 个 B ．7 个，6 个 C ．22 个，22 个 D ．8 个，6 个

【分析】 根据众数和中位数的定义求解： 众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意

众数可以不止一个； 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或

两个数的平均数） 为中位数．

【解答】 解： 由表可知 7 个出现次数最多，所以众数为 7 个，

因为共有 50 个数据，

所以中位数为第 25 个和第 26 个数据的平均数，即中位数为 7 个．

故选： A．

【点评】 本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌 握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序， 然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，

如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

6 ．（2 分） 不等式组

的解集为（ ）

A．x≤

B ．1＜x≤

C ．1≤x＜

D．x＞1

【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀： 同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】 解： 解不等式 x ﹣ 1＞0 ，得： x＞1，

解不等式 2x ﹣ 4≤1 ，得： x≤

，

则 1＜x≤

，

故选： B．

【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大； 同小取小； 大小小大中间找； 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

7 ．（2 分） 已知直线 l1∥l2 ，将一块直角三角板ABC 按如图所示方式放置， ∠ABC＝90°， ∠A＝30° ，若∠1＝85° ，则∠2 的度数是（ ）

A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°

【分析】 利用对顶角相等及三角形内角和定理，可求出∠4 的度数，由直线l1 ∥l2 ，利用 “两直线平行，内错角相等”可求出∠2 的度数．

【解答】 解： ∵∠A+∠3+∠4＝180° ， ∠A＝30° ， ∠3＝ ∠1＝85°， ∴∠4＝65°．

∵直线 l1 ∥l2，

∴∠2＝ ∠4＝65°．

故选： D．

【点评】 本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角

相等”是解题的关键．

8 ．（2 分） 已知方程组

，则 x ﹣ y＝（ ）

A ． 5 B ． 2 C ． 3 D ． 4

【分析】 方程组两方程相减即可求出所求．

【解答】 解：

，

① ﹣ ②得： （2x+3y） ﹣ （x+4y）＝16 ﹣ 13，

整理得： 2x+3y ﹣ x ﹣ 4y＝3 ，即 x ﹣ y＝3，

故选： C．

【点评】 此题考查了解二元一次方程组，利用了整体的思想，熟练掌握方程组的解法是

解本题的关键．

9 ．（2 分） 反比例函数y＝

图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A ．k＞0

第 10页（共 29页）

B．y 随 x 的增大而减小

C ．若矩形 OABC 面积为 2 ，则 k＝ ﹣ 2

D ．若图象上点 B 的坐标是（ ﹣ 2 ，1），则当 x＜ ﹣ 2 时，y 的取值范围是y＜1

【分析】 根据反比例函数的性质对 A、B、D 进行判断； 根据反比例函数系数k 的几何意 义对 C 进行判断．

【解答】 解： A 、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0 ，所以 A 选项错误； B 、在每一象限，y 随 x 的增大而增大，所以 B 选项错误；

C、矩形 OABC 面积为 2 ，则|k|＝2 ，而 k＜0 ，所以 k＝ ﹣ 2 ，所以 C 选项正确；

D 、若图象上点 B 的坐标是（ ﹣ 2 ，1），则当 x＜ ﹣ 2 时，y 的取值范围是 0＜y＜1 ，所以

D 选项错误．

故选： C．

【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义： 在反比例函数y＝

图象中任取一点，

过这一个点向 x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反

比例函数的性质．

10 ．（2 分） 如图，在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形 CDE ， ∠CED＝90° ，DE＝CE， 连接 BE ，则 tan∠EBC＝（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】 根据题意，作出合适的辅助线，然后根据矩形的性质和正方形的性质，可以得

到 BG 和 EG 的长，从而可以得到tan∠EBC 的值．

【解答】 解： 作 EF⊥DC 于点 F，作 EG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G，

则四边形 CGEF 是矩形，

设AB＝2a，

∵在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形 CDE ， ∠CED＝90°，DE＝CE， ∴EF＝a ，BC＝2a，

∴EG＝a ，CG＝a，

第 11页（共 29页）

，

∴tan∠EBC＝

故选： A．

【点评】 本题考查等腰直角三角形、正方形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是 明确题意，利用数形结合的思想解答．

二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）

11 ．（3 分） 分解因式： 2x2 ﹣ 4xy+2y2＝ 2 （x ﹣ y）2 ．

【分析】 先提取公因式（常数 2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】 解： 2x2 ﹣ 4xy+2y2，

＝2 （x2 ﹣ 2xy+y2），

＝2 （x ﹣ y）2．

故答案为： 2 （x ﹣ y）2．

【点评】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用完全平方公式 进行二次因式分解，分解因式要彻底．

12 ．（3 分） 在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相 同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.2 附近，则估计口袋中白球大约 有 20 个．

【分析】 由摸到红球的频率稳定在 0.2 附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球 个数即可．

【解答】 解： 设白球个数为： x 个，

∵摸到红色球的频率稳定在 0.2 左右，

∴口袋中得到红色球的概率为 0.2＝

，

∴

＝

，

解得： x＝20，

即白球的个数为 20 个，

故答案为： 20．

【点评】 此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得

出是解题关键．

13 ．（3 分） 圆内接正方形的边长为 3 ，则该圆的直径长为 3

．

【分析】 连接 BD ，利用圆周角定理得到 BD 是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求 得直径的长即可．

【解答】 解： 如图，

∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，

∴∠C＝90° ，BC＝DC，

∴BD 是圆的直径，

∵BC＝3，

∴BD＝

＝

＝3

，

故答案为： 3

．

【点评】 该题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，正确的理解题意是

解题的关键．

14 ．（3 分） 计算：（

+a ） •

＝

．

【分析】 先把括号内通分，然后约分得到原式的值．

【解答】 解： 原式＝

•

＝

•

＝

．

故答案为

．

【点评】 本题考查了分式的化简求值： 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代

入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、

分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

15 ．（3 分） 如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为 15m），另外三边用长为 16m

的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 32m2 ．

【分析】 设垂直于墙面的长为 xm ，则平行于墙面的长为（ 16 ﹣ 2x ）m ，首先列出矩形的

面积y 关于 x 的函数解析式，结合 x 的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．

【解答】 解： 设垂直于墙面的长为 xm ，则平行于墙面的长为（16 ﹣ 2x）m ，由题意可知：

y＝x （ 16 ﹣ 2x ）＝ ﹣ 2 （x ﹣ 4）2+32 ，且 x＜8，

∵墙长为 15m，

∴16 ﹣ 2x≤15，

∴0.5≤x＜8，

∴当 x＝4 时，y 取得最大值，最大值为 32m2；

故答案为： 32m2．

【点评】 此题考查了二次函数的应用以及矩形的性质．解题的关键是根据题意构建二次 函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．

16 ．（3 分） 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6 ，∠A＝60° ，点 E 为边 AD 上一点，将点 C 折

叠与点 E 重合，折痕与边 CD 和 BC 分别交于点 F 和 G ，当 DE＝2 时，线段 CF 的长是

．

【分析】 过点 F 作 FH⊥AD 于 H，易证∠DFH＝30°，设 CF＝x，则 DF＝6 ﹣ x，DH＝

（6 ﹣ x），HF＝

（6 ﹣ x），EH＝DE+DH＝5 ﹣

，由折叠的性质得 EF＝CF＝x ，在 Rt

△EFH 中，EF2＝EH2+HF2 ，即可得出答案．

【解答】 解： 过点 F 作 FH⊥AD 于 H，如图所示：

第 14页（共 29页）

∵四边形ABCD 是菱形， ∠A＝60°，

∴AB＝CD＝6 ， ∠EDF＝120°，

∴∠FDH＝60°，

∴∠DFH＝30°，

设 CF＝x，

则 DF＝6 ﹣ x ，DH＝

DF＝

（6 ﹣ x），HF＝ ∴EH＝DE+DH＝2+

（6 ﹣ x ）＝5 ﹣

，

（6 ﹣ x），

由折叠的性质得： EF＝CF＝x，

在 Rt△EFH 中，EF2＝EH2+HF2，

即 x2＝（5 ﹣

）2+[

（6 ﹣ x ）]2，

解得： x＝

，

∴CF＝

，

故答案为：

．

【点评】 本题考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、折叠的性质等知识； 熟练掌握 菱形的性质和勾股定理是解题的关键．

三、解答题（第 17 小题 6 分，18 、19 小题各 8 分，共 22 分）

17 ．（6 分） 计算：（ ﹣ 1）2020+|

﹣ 2|+tan45°+

．

【分析】 直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得

出答案．

【解答】 解： 原式＝1+

﹣ 2+1+2

＝3

．

【点评】 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18 ．（8 分） 在一个不透明的口袋里装着分别标有汉字“中”、 “国”、 “加”、 “油”的四个小

球，除汉字不同外完全相同．摇匀后任意摸出一个球，记下汉字后不放回，再随机从中 摸出一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“加 油”的概率．

【分析】 先根据题意列举出所有可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“中国” 或“加油”的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】 解： 列举如下：

所有等可能的情况有 12 种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“加油”的

情况有 4 种，

则取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“龙岩加油”的概率为

＝

．

【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列 表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件； 树状图

法适合两步或两步以上完成的事件； 注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

19 ．（8 分） 如图，在△ABC 中， ∠ACB＝90°，AC＝BC ，点 E 是∠ACB 内部一点，连接

CE，作 AD⊥CE ，BE⊥CE ，垂足分别为点 D ，E．

（1）求证： △BCE≌△CAD；

（2）若 BE＝5，DE＝7 ，则△ACD 的周长是 30 ．

【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝ ∠ADC＝90° ，进而得出△CEB≌△ADC；

（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；

【解答】（1）证明： ∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E＝ ∠ADC＝90°，

∴∠EBC+∠BCE＝90°．

∵∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠EBC＝ ∠DCA．

在△BCE 和△CAD 中，

， ∴△BCE≌△CAD （AAS）；

（2）解： ∵： △BCE≌△CAD ，BE＝5，DE＝7，

∴BE＝DC＝5 ，CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．

∴由勾股定理得： AC＝13，

∴△ACD 的周长为： 5+12+13＝30，

故答案为： 30．

【点评】 本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定 及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

四、（每小题 8 分，共 16 分）

20．（8 分） 为了解居民对垃圾分类相关知识的知晓程度（“A．非常了解”，“B．了解”，“C．基 本了解”，“D．不太了解”），小明随机调查了若干人（每人必选且只能选择四种程度中的

一种）．根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

请你结合统计图所给信息解答下列问题：

（1）小明共调查了 500 人，扇形统计图中表示“C”的圆心角为 72 °；

（2）请在答题卡上直接补全条形统计图；

第 17页（共 29页）

（ 3 ） 请 你 估 计 50000 名 市 民 中 不 太 了 解 垃 圾 分 类 相 关 知 识 的 人

数．

【分析】（1）从两个统计图中可知“A 非常了解”的人数为 150 人，占调查人数的 30%， 可求出调查人数； 用 360°乘以“C”所占的百分比即可得出“C”的圆心角度数；

（2）求出 B 等级的人数，从而补全条形统计图；

（3）用总人数乘以不太了解垃圾分类人数所占的百分比即可．

【解答】 解：（ 1）小明共调查的总人数是： 150÷30%＝500 （人），

扇形统计图中表示“C”的圆心角为： 360°×

＝72°；

故答案为： 500 ，72；

（2）B 等级的人数有： 500×40%＝200 人，补全条形统计图如图所示：

（3）根据题意得：

50000×

＝5000 （人），

答： 估计 50000 名市民中不太了解垃圾分类相关知识的人数有 5000 人．

【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21 ．（8 分） 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出 20 件，每件盈利 50 元．经调查发

现： 这种衬衫的售价每降低 1 元，平均每天能多售出 2 件，设每件衬衫降价 x 元．

（1）降价后，每件衬衫的利润为 （50 ﹣ x ） 元，平均每天的销量为 （20+2x ） 件； （用含 x 的式子表示）

（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利 1600 元，那么每件衬衫应降价多少元？

【分析】（1）根据“这种衬衫的售价每降低 1 元时，平均每天能多售出 2 件”结合每件 衬衫的原利润及降价 x 元，即可得出降价后每件衬衫的利润及销量；

（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较 大值即可得出结论．

【解答】 解：（ 1） ∵每件衬衫降价 x 元，

∴每件衬衫的利润为（50 ﹣ x ）元，销量为（20+2x ）件．

故答案为：（ 50 ﹣ x）；（20+2x）．

（2）依题意，得：（50 ﹣ x ）（20+2x ）＝1600，

整理，得： x2 ﹣ 40x+300＝0，

解得： x1＝10 ，x2＝30．

∵为了扩大销售，尽快减少库存，

∴x＝30．

答： 每件衬衫应降价 30 元．

【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键．

五、（本题 10 分）

22 ．（10 分） 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 是⊙O 的直径，边 BC 交⊙O 于点 D，作 DE ⊥AC 于点 E，延长 DE 和 BA 交于点 F．

（1）求证： DE 是⊙O 的切线；

（2）若 tanB＝

，AE＝3 ，则直径 AB 的长度是

．

【分析】（1）连接 OD，AD ，根据圆周角定理得到 AD⊥BC ，根据等腰三角形的性质得 到∠BAD＝ ∠CAD ，推出 OD∥AC ，根据平行线的性质得到 OD⊥DE ，于是得到 DE 是

⊙O 的切线；

（2）设AD＝3k，BD＝4k，根据勾股定理得到AB＝5k，根据相似三角形的性质即可得到 结论．

【解答】 解：（ 1）连接 OD，AD，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠BAD＝ ∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝ ∠ODA，

∴∠DAC＝ ∠ADO，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE 是⊙O 的切线；

（2） ∵tanB＝

＝

， ∴设AD＝3k，BD＝4k， ∴AB＝5k，

∵∠AED＝ ∠ADB＝90° ， ∠BAD＝ ∠DAE，

∴△ABD∽△ADE，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴k＝

，

∴AB＝5k＝

．

故答案为：

．

【点评】 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确 的作出辅助线是解题的关键．

六、（本题 10 分）

23 ．（10 分） 如图 1 ，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（ ﹣ 1 ，0），点 B （2 ，3），点 C （3 ，

）．

（1）求直线 AB 的解析式；

（2）点 P（m ，0）是 x 轴上的一个动点，过点 P 作直线 PM∥y 轴，交直线AB 于点 M， 交直线 BC 于点 N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当 MN＝MP 时，求点 M 的坐 标；

（3）如图 2，取点 D（4，0），动点 E 在射线 BC 上，连接 DE，另一动点 P 从点 D 出发， 沿线段 DE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E ，再沿线段 EB 以每秒

个单位的速度运 动到终点 B ，当点 E 的坐标是多少时，点 P 在整个运动过程中用时最少？ 请直接写出此 时 点 E 的 坐

标．

【分析】（1）设直线 AB 的解析式为y＝kx+b ，把 A ，B 两点坐标代入，转化为解方程组 即可．

（2）由题意 M（m，m+1），N（m ， ﹣

m+4），根据 MN＝MP ，构建方程解决问题即可．

（3）如图 2 中，作 BT∥AD ，过点 E 作 EK⊥BT 于 K．设直线 BC 交 x 轴于 J．由 BT∥ OJ，推出∠BJO＝ ∠TBJ，推出 tan∠TBJ＝tan∠BJO＝

，推出

＝

，设 EK＝m，BK ＝2m，则 BE＝

m，推出 EK＝

BE，由点 P 在整个运动过程中的运动时间 t＝

+

＝DE+

BE＝DE+EK，推出当 D ，E ，K 共线，DE+EK 的值最小．

【解答】 解：（ 1）设直线 AB 的解析式为y＝kx+b，

∵点A 的坐标是（ ﹣ 1 ，0），点 B （2 ，3），

∴

，

解得：

，

∴直线 AB 的解析式为y＝x+1；

（2） ∵点 B（2 ，3），点 C（3 ，

），

∴直线 BC 的解析式为y＝ ﹣

x+4，

∵点 P（m ，0），PM∥y 轴，交直线AB 于点 M，交直线 BC 于点 N，

∴M（m ，m+1），N（m ， ﹣

m+4），

∵MN＝MP，

∴m+1＝（ ﹣

m+4） ﹣ （m+1），

解得： m＝

，

∴M（

，

）；

（3）如图 2 中，作 BT∥AD ，过点 E 作 EK⊥BT 于 K．设直线 BC 交 x 轴于 J．

∵直线 BC 的解析式为y＝ ﹣

x+4，

∴tan∠BJO＝

，

∵BT∥OJ，

∴∠BJO＝ ∠TBJ，

∴tan∠TBJ＝tan∠BJO＝

，

∴

＝

，设 EK＝m ，BK＝2m ，则 BE＝

m，

∴EK＝

BE，

∵点 P 在整个运动过程中的运动时间t＝

+

＝DE+

BE＝DE+EK， ∴当 D ，E，K 共线，DE+EK 的值最小，此时 DE＝

DJ＝2 ，EK＝

BK＝1，

∴点 P 在整个运动过程中的运动时间的最小值为 2+1 ＝3 秒，此时 E（4 ，2）．

【点评】 本题考查一次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，垂线段最短等 知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用垂线段最短 解决最值问题，属于中考压轴题．

七、（本题 12 分）

24 ．（12 分） 在△ABC 中，AB＝AC ，点 O 在 BC 边上，且 OB＝OC ，在△DEF 中，DE＝ DF，点 O 在 EF 边上，且 OE＝OF， ∠BAC＝ ∠EDF，连接AD ，BE．

（1）如图 1 ，当∠BAC＝90°时，连接 AO ，DO ，则线段 AD 与 BE 的数量关系是 AD

＝BE ，位置关系是 AD⊥BE ；

（2）如图 2 ，当∠BAC＝60°时，（1）中的结论还成立吗？ 请说明理由；

（3）如图 3，AC＝3

，BC＝6，DF＝5，当点 B 在直线 DE 上时，请直接写出 sin∠ABD 的值．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得 AO＝BO，DO＝EO，∠AOB＝ ∠DOE＝90°， 由“SAS”可证△BOE≌△AOD ，可得 AD＝BE，∠OBE＝ ∠OAD ，由直角三角形的性质

可得AD⊥BE；

（2）通过证明△AOD∽△BOE ，可得

＝

， ∠OAD＝ ∠OBE ，可得结论；

（3）如图 3，分两种情况讨论，连接 AO，DO ，由勾股定理可求 AO 的长，由（2）可知： △BEO∽△ADO ，可求AD＝2BE ，由勾股定理可求解．

【解答】 解：（ 1）如图 1 ，延长 AD ，BE 交于点 H，

∵AB＝AC，DE＝DF， ∠BAC＝ ∠EDF＝90° ，OB＝OC，OE＝OF，

∴AO＝BO，DO＝EO ， ∠AOB＝ ∠DOE＝90°，

∴∠BOE＝ ∠AOD，

∴△BOE≌△AOD（SAS），

∴AD＝BE ， ∠OBE＝ ∠OAD，

∵∠OAB+∠OBA＝90° ＝ ∠OBE+∠ABE+∠OAB，

∴∠OAB+∠OAD+∠ABE＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴AD⊥BE，

故答案为： AD＝BE，AD⊥BE；

（2）AD＝BE 不成立，AD⊥BE 仍然成立，

理由如下：

如图 2 ，连接 AO，DO，

∵AB＝AC，DE＝DF， ∠BAC＝ ∠EDF＝60°，

∴△ABC 和△DEF 是等边三角形，

∵OB＝OC，OE＝OF，

∴∠DOE＝90° ＝ ∠AOB，DO ＝

EO，AO＝

BO，

∴∠AOD＝ ∠BOE ，

＝

，

∴△AOD∽△BOE，

∴

＝

， ∠OAD＝ ∠OBE，

∴AD＝

BE，

∵∠OAB+∠OBA＝90° ＝ ∠OBE+∠ABE+∠OAB，

∴∠OAB+∠OAD+∠ABE＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴AD⊥BE，

（3）如图 3 ，当点 E 在线段 BD 上时，连接 AO，DO，

第 25页（共 29页）

∵AC＝3

＝AB ，OB＝OC，BC＝6，

∴AO⊥BC，BO＝3，

∴AO＝

＝

＝6，

由（2）可知： △BEO∽△ADO，AD⊥BE，

∴

＝

＝2，

∴AD＝2BE，

∵AB2＝AD2+BD2，

∴45＝4BE2+（ 5+BE）2，

∴BE＝

﹣ 1，

∴AD＝2

﹣ 2，

∴sin∠ABD＝

＝

；

如图，当点 B 在线段 DE 上时，连接AD，AO ，DO，

同理可求： AD＝2BE，AD⊥BE，

∵AB2＝AD2+BD2，

∴45＝4BE2+（ 5 ﹣ BE）2，

∴BE＝

+1，

第 26页（共 29页）

∴AD＝2

+2，

∴sin∠ABD＝

＝

＝

，

综上所述： sin∠ABD 的值为

或

．

【点评】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质， 等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是 本题的关键．

八、（本题 12 分）

25 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（ ﹣ 1 ，0） 和 B （4 ，0），交y 轴于点 C，点 D 和点 C 关于对称轴对称，作 DE⊥OB 于点 E ，点 M 是射线 EO 上的动点，点 N 是y 轴上的动点，连接 DM，MN，设点 N 的坐标为（0 ，n）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 M，N 分别在线段 OE ，OC 上，且 ME＝ON 时，连接 CM，若△CMN 的面积

是 ，求此时点 M 的坐标；

（3）是否存在 n 的值使∠DME＝ ∠MNO＝α（0°＜ α＜90°） ？若存在，请直接写出 n

的取值范围； 若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求解即可得出结论

（2）先求出点 E 坐标，进而表示出 OM，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结

论；

（3）先判断出△MON∽△DEM，得出

，再分点 M 在线段 OE 上和 EO 的延长线 上，表示出 ME ，ON，进而得出 n ，再利用 n 的范围即可得出结论．

【解答】 解： ∵抛物线y＝ax2+bx+2 （a≠0）经过点 A （ ﹣ 1 ，0）和 B （4 ，0）， 第 27页（共 29页）

，

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x ﹣ 4）＝ax2 ﹣ 3ax ﹣ 4a，

∴ ﹣ 4a＝2，

∴a＝ ﹣

，

∴抛物线的解析式为y＝ ﹣

x2+

x+2；

（2）由（ 1）知，抛物线的解析式为y＝ ﹣

x2+

x+2，

∴C（0 ，2），对称轴为 x＝

，

∵点 D 和点 C 关于对称轴对称，

∴D（3 ，2），

∵DE⊥OB，

∴E（3 ，0），

∵N（0 ，n），且 N在线段 OC 上，

∴CN＝OC ﹣ ON＝2 ﹣ n，

∵ME＝ON＝n，

∴OM＝OE ﹣ ME＝3 ﹣ n，

∵△CMN 的面积是

，

∴S△CMN＝

CN•OM＝

（2 ﹣ n ）（3 ﹣ n ）＝

∴n＝

或 n＝

（舍去），

∴M（

，0）；

（3） ∵∠DME＝ ∠MNO ＝α ， ∠MON＝ ∠DEM，

∴△MON∽△DEM，

∴

，

∵D（3 ，2），

∴DE＝2，

设 M（m ，0），

第 28页（共 29页）

当 m＝0 时，点 M和点 O 重合，不能构成三角形 MON，

当点 M 在线段 OE 上时，则 0＜m＜3，

∴OM＝m，ME＝3 ﹣ m，

∴ON＝n，

∴

，

∴n＝

＝

＝

，

∴0＜n＜

，

当点 M 在 x 轴负半轴时，则 m＜0，

∴OM＝ ﹣ m ，ME＝3 ﹣ m，

当 n＜0 时，

∴ON＝ ﹣ n，

∴

，

∴n＝

＝

＝

，

∴n＜0，

当 n＞0 时，

∴ON＝n，

∴

，

∴n＝

＝

，

∴n＞0，

即 n 的取值范围为 n≠0．

【点评】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质， 三角形的面积公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．