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中心极限定理——数据运营不得不学的统计学知识
2022-03-08 14:35:43

中心极限定理(CLT)是指,给定足够大的样本量,无论变量在总体中的分布如何,变量均值的抽样分布都将近似于正态分布。


这是统计学中的一个基本定理,也是最重要的统计定理之一,是学习统计学绕不过的坎儿。不过好在这个概念实际上不难理解,看过下面这些例子,你也会觉得它其实蛮简单的。这些例子从反方面着手,我们很容易就能清楚地理解CLT了。


例1

最重要的统计定理:详解强大的中心极限定理


取一个均匀分布(从0到1,称为均匀分布,因为在0和1之间选择值的概率相等,因此它的概率密度函数(PDF)就是水平的黑色直线)。现在,假设从这个分布(绿点)中随机抽取20个样本,并计算这些样本的均值,最后得到一个值,在本例中,黑色点线表示0.5。


继续在直方图上绘制这个均值。因为此直方图目前只有一个均值,除此之外没有任何信息(下图1)。继续从相同的分布中随机抽取更多的样本,计算各自的均值并再次在直方图上绘制这些均值,便开始得到一个有趣的输出(下图2)。

最重要的统计定理:详解强大的中心极限定理


最重要的统计定理:详解强大的中心极限定理


随着不断从均匀分布中随机取出越来越多的样本,并不断在直方图上绘制样本均值,我们可以得到一个正态分布的结果(右曲线)。

最重要的统计定理:详解强大的中心极限定理


推论:从均匀数据分布开始,但是从中抽取的样本均值结果为正态分布。


例2


在第二例中进行与例1相同的步骤,唯一不同的是,这次将从指数分布中抽取样本。

最重要的统计定理:详解强大的中心极限定理


再次随机抽取20个样本,计算样本的均值,并将其绘制在直方图上。以此类推,在此指数数据分布中抽取大约100个样本,直方图如下所示。没错,样本的均值结果是正态分布!


推论:从指数数据分布开始,但从中抽取的样本均值为正态分布。


此时CLT的含义就变得非常直观了。它意味着,即使数据分布不是正态的,从中抽取的样本均值的分布也将是正态的。

最重要的统计定理:详解强大的中心极限定理


了解样本均值总是*呈正态分布有什么实际意义?


分析学领域从来少不了各种各样的数据,而源数据的分布我们不一定了解,但有了CLT,我们甚至不需要考虑这种情况,因为均值永远为正态分布,完全没有必要担心源数据的分布。


(注*-为了应用CLT,必须能够计算样本的均值。Cauchy分布没有样本均值,因此CLT不适用于该分布,但除了Cauchy,笔者没有遇到任何其他分布不适用于CLT的情况,因此,CLT可以适用于任何其他分布。)

最重要的统计定理:详解强大的中心极限定理

图源:unsplash

我们能利用CLT作答还有很多:


· 可以利用均值的正态分布来确定置信区间。

· 在使用样本均值的情况下,可以进行任何统计检验。

· 可以进行t检验(即,利用两个样本的均值之间存在差异的特点)

· 可以进行方差分析测试(即,利用3个或3个以上样本的均值之间存在差异的特点)


丁少恭
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丁少恭
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